EBOB ve EKOK

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir odaya artık kalmadan en büyük karelerle döşeme yapmak ya da iki otobüsün aynı anda yeniden ne zaman kalkacağını bulmak, ilk bakışta farklı sorular gibi görünür. İkisi de aynı iki araçla çözülür: EBOB ve EKOK. Bu konuda iki aracı da, aralarındaki ilişkiyi ve hangi problemde hangisini seçeceğini öğreneceksin.

1. Asal çarpanlara ayırma

Her bileşik sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bunu bölerek yaparsın.

$36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \qquad 72 = 2^3 \cdot 3^2$

Bölünebilme kurallarını bildiğin için hangi asal sayıya bölüneceğini hızlı seçersin. 60'ı ele alalım: 60'ın yarısı 30, 30'un yarısı 15, 15 = $3 \cdot 5$. Çarpanlar 2, 2, 3, 5 olur.

2. EBOB: en büyük ortak bölen

İki ya da daha fazla sayıyı aynı anda tam bölen en büyük sayıya EBOB denir.

Yol: Sayıları asal çarpanlarına ayır. Ortak olan asal çarpanları en küçük üsleriyle çarp.

Örnek. 36 ve 60'ın EBOB'u: Ortak çarpanlar 2 ve 3. En küçük üsler $2^2$ ve $3^1$. Sonuç $2^2 \cdot 3 = 12$.

3. EKOK: en küçük ortak kat

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.

Yol: Sayıları asal çarpanlarına ayır. Bütün asal çarpanları en büyük üsleriyle çarp.

Örnek. 36 ve 60'ın EKOK'u: Çarpanlar 2, 3, 5. En büyük üsler $2^2$, $3^2$, $5^1$. Sonuç $4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Döşeyerek gör

Genişliği ve uzunluğu değiştir. Zemini artık kalmadan döşeyen en büyük karenin kenarı EBOB'dur.

4. EBOB ve EKOK arasındaki ilişki

İki sayı için şu eşitlik her zaman doğrudur:

$a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b)$

Örneğin $48 \cdot 72 = 3456$ ve EBOB $= 24$, EKOK $= 144$ olduğundan $24 \cdot 144 = 3456$. Bu ilişki sayıların biri bilinmediğinde çok işe yarar. Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç sayıda kullanma.

Aralarında asal sayılar

EBOB'u 1 olan iki sayıya aralarında asal denir. Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir: EBOB(8, 15) = 1 ve EKOK(8, 15) = 120. İki ardışık doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. 8 asal değildir ama 15 ile aralarında asaldır.

5. EBOB problemleri: eşit bölme

Bir bütünü artık kalmadan, eşit ve en büyük parçalara ayırma sorularında EBOB kullanılır.

Örnek. 210 cm $\times$ 330 cm boyutlarındaki dikdörtgen bir zemin, artık kalmadan eş kare karolarla döşenecek. Karolar en büyük boyutta ise kaç karo gerekir?

Karonun kenarı hem 210'u hem 330'u bölmeli ve en büyük olmalı. EBOB(210, 330) = 30. Kenar 30 cm olur. Karo sayısı $\dfrac{210}{30} \cdot \dfrac{330}{30} = 7 \cdot 11 = 77$.

Örnek. 40 kalem, 56 silgi ve 72 defter, hiçbiri artmayacak biçimde ve her öğrenciye üç üründen de eşit sayıda düşecek şekilde dağıtılacak. En fazla kaç öğrenciye dağıtılır? EBOB(40, 56, 72) = 8 olduğundan 8 öğrenciye.

6. EKOK problemleri: tekrar eden olaylar

Birden fazla olay belirli aralıklarla tekrar ediyor ve yeniden aynı anda gerçekleşmesi soruluyorsa EKOK kullanılır.

Örnek. Bir durakta üç otobüs sırasıyla 12, 15 ve 20 dakikada bir kalkıyor. Saat 08.00'de birlikte kalktıklarına göre tekrar ne zaman birlikte kalkarlar? EKOK(12, 15, 20) = 60 dakika. Saat 09.00'da.

Örnek. Saat 08.00'de birlikte kalkan iki otobüs 14 ve 21 dakikada bir kalkıyor. 08.00'den sonra 12.00'ye kadar (12.00 dahil) kaç kez birlikte kalkarlar? EKOK(14, 21) = 42 dakika. 08.00 ile 12.00 arası $4 \cdot 60 = 240$ dakikadır. $\dfrac{240}{42} \approx 5{,}7$ ve tam kısım 5'tir. Demek ki 5 kez birlikte kalkarlar.

Bölme sonucunun tam kısmı alınır, yuvarlama yapılmaz. 5,7 kez diye bir şey olmaz, 6. buluşma 12.00'den sonradır.

Kalan koşullu EKOK

Bir sayı 4, 6 ve 9'a bölündüğünde hep aynı kalan (örneğin 3) kalıyorsa sayı $\text{EKOK}(4, 6, 9) \cdot k + 3 = 36k + 3$ biçimindedir. En küçük $k = 0$ için 3 olur. 3'ten büyük en küçük sayı 39'dur. Kontrol: $39 = 4 \cdot 9 + 3$, $39 = 6 \cdot 6 + 3$, $39 = 9 \cdot 4 + 3$.

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.