İşçi ve Havuz Problemleri

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir işi tek başına 12 günde bitiren biri ile 6 günde bitiren biri birlikte çalışırsa iş kaç günde biter? Bir havuzu bir musluk doldururken tahliye borusu boşaltıyorsa havuz ne zaman dolar? Bu sorular aynı fikirle çözülür: bir birim zamanda yapılan işe bak. Bu konuda "bir günlük iş" kavramını, ortak çalışmayı, farklı katılım zamanlarını ve havuz problemlerini öğreneceksin.

1. Bir günlük iş

Bir işi tek başına $t$ günde bitiren işçi, bir günde işin $\dfrac{1}{t}$'sini yapar.

• 12 günde bitiren günde $\dfrac{1}{12}$ iş yapar.
• 6 günde bitiren günde $\dfrac{1}{6}$ iş yapar.

$n$ günde yapılan iş, bir günlük iş $\cdot$ $n$'dir. İşin tamamı bittiğinde yapılan iş toplamı 1 olur.

2. Birlikte çalışma

Birlikte çalışanların günlük işleri toplanır:

$\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \Rightarrow t = \dfrac{a \cdot b}{a + b}$

Örnek. A bir işi 12 günde, B aynı işi 6 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

$\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

Günlük iş $\dfrac{1}{4}$ ise iş 4 günde biter. Mantık kontrolü: Birlikte çalışmak işi hızlandırır. 4 gün, en hızlı işçinin tek başına süresi olan 6 günden kısadır.

Örnek. A ile B birlikte işi 10 günde, A tek başına 15 günde bitiriyor. B tek başına kaç günde bitirir?

$\dfrac{1}{B} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{30}$

B tek başına 30 günde bitirir. Burada çıkarma yaptık, çünkü ortak işten A'nın kısmını çıkarıp B'ninkini buldun.

3. Havuz problemleri

Havuz problemleri aynı mantıkla çözülür. Havuzun tamamı 1 bütündür.

• Doldurma borusu işi artırır: $+\dfrac{1}{t}$.
• Boşaltma borusu işi azaltır: $-\dfrac{1}{t}$.

Örnek. Bir musluk havuzu 8 saatte doldurur, tahliye borusu dolu havuzu 24 saatte boşaltır. İkisi aynı anda açıkken boş havuz kaç saatte dolar?

$\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{3}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12}$

Havuz 12 saatte dolar. Eğer boru musluktan daha hızlı boşaltsaydı havuz hiç dolmazdı. Tahliye süresi 8 saatten kısa olsaydı günlük iş negatif çıkardı.

4. Farklı katılım zamanları

Bazı işçiler işe başladığında bir kısmı yapılmış olabilir. Yapılan iş kesirlerini topla, kalan işi hesapla.

Örnek. A bir işi tek başına 20 günde, B 30 günde bitirir. İkisi 6 gün birlikte çalıştıktan sonra ayrılıyor. Kalan işi C tek başına 10 günde bitirdiğine göre C bu işi tek başına kaç günde bitirirdi?

• Birlikte günlük iş: $\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{3}{60} + \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{12}$.
• 6 günde yapılan iş: $6 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2}$. Kalan iş $\dfrac{1}{2}$.
• C, işin yarısını 10 günde yaptı. Bütün işi $10 \cdot 2 = 20$ günde yapardı.

Kontrol: C'nin günlük işi $\dfrac{1}{20}$, A'nınkiyle aynıdır. Yani C'nin A kadar hızlı olduğu sonucuna varırsın.

5. İşçi, gün ve saat: bileşik orantı

İşçi sayısı, gün sayısı ve günlük çalışma saati arasında şu çarpım iş miktarı için sabittir:

$\text{İşçi} \cdot \text{Gün} \cdot \text{Saat} = \text{Toplam iş}$

Örnek. 6 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Toplam iş $6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ işçi-saattir. 8 işçi günde 6 saat çalışırsa gün sayısı $\dfrac{480}{8 \cdot 6} = 10$ olur. İşçi sayısı arttı ama saat azaldı ve bu iki etki birbirini dengeledi.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.